Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Решение дробно-рациональных уравнений

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили мимо ушей то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Для начала давайте разберемся, что же это такое – дробно-рациональные уравнения?  В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональным уравнением, называется уравнение вида \(fxg(x)=0\). И конечно, это определение, ни о чем вам не говорит. Тогда я привожу примеры, а вы постарайтесь выявить закономерность, найти что-то общее. \({{-2x-4}\over {x2-4}}={{x+5}\over {x-2}}\)         \({{3×2-6}\over 2(x+1)} =x-1\)    \({x\over x-2 } + {8\over{4-x2}} – {1\over x+2}=0\)  

А эти уравнения не являются дробно-рациональными:

\(3×2+x-25=0 \)               \({{2-x}\over {2}}+{{3x\over 5}}=4\)              \({{2x-1}\over 2}+{5x\over6}-{1-x\over 3}=3x-2\)  

Два последних уравнения точно не относятся к дробно-рациональным, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое важное, что в знаменателе нет переменной (буквы). А вот в дробно-рациональном уравнении в знаменателе всегда есть переменная.            

Итак, после того, как вы верно определили, какое именно епред вами уранвение, начнем его решать. Первое, что нужно сделать, обозначается тремя большими буквами, О.Д.З. Что же означают эти буквы? Область Допустимых Значений.

Что это означает в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторить тему «Алгебраические дроби». А вот для нашей цели это означает следующее: мы берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и отмечаем, что они не равны нулю.

Если для примера использовать наши уравнения \({{-2x-4}\over x2-4}={x+5\over x-2}\)  , делаем так:       \({3×2-6\over 2(x+1)} =x-1 \)

Почему не указали множитель 2? Так ясно же, что 2≠0

\({x\over x-2}+{8\over 4-x2}-{1\over x+2}=0\)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если вы можете, то решите эти уравнения со знаком , а если не можешь, пока оставьте так, как есть. И идем дальше.

Дальше все дроби, входящие в уравнения, нужно представить в виде одной дроби. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. И в конце выписать то, что получилось, в числителе и приравнять это выражение к нулю. А потом решить уравнение.

Вернемся к нашим примерам: \({-2x-4\over x2-4}={x+5 \over x-2} \) ОДЗ: \(x2-4≠0\)                                                    \({-2x-4\over x2-4}-{x+5 \over x-2}=0 \)                          \(x-2≠0 \) Перенесли дробь влево, при  этом поменяли знак. Замечаем, что знаменатель \(x2-4 \)  можно разложить на множители, с помощью формулы сокращенного умножения \(x2-4=(x-2)(x+2)\), а в числителе можно вынести общий множитель «-2» за скобку. \({-2(x+2)\over (x+2)(x-2)} -{x+5\over x-2}=0\) Еще раз смотрим на ОДЗ, есть он у нас? Есть! Тогда можно сократить первую дробь на x+2.  Если ОДЗ нет, сокращать нельзя!  Получаем:
\({-2\over x-2}-{x+5 \over x-2}=0\)

Дроби имеют общий знаменатель, значит, их можно отнять:

Обращаем внимание, так как дроби отнимаем, знак «+» во второй дроби меняем на минус! Приводим в числителе подобные слагаемые:

Вспомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Пора указать, что числитель равен нулю:

\(-x-7=0\)

Это линейное уравнение, переносим «-7» вправо, меняем знак:

\(-x=7\)

\(x=-7\)

Вспоминаем про ОДЗ: \(x2-4≠0 \)           \(x-2≠0\).  Если вы смогли решить, то решили так:   \(x2≠4 \)              \(x≠2\)

А если решить не смогли, то подставляем в ОДЗ вместо «x» то, что получилось. У нас \(x=-7\)

Тогда: \((-7)2-4≠0\)? Выполняется? Выполняется!   Работаем дальше: \(-7-2≠0\)? Выполняется? Выполняется! Значит, ответ нашего уравнения: \(x=-7\) Рассмотрим следующее уравнение: \({3×2-6\over 2(x+1)}={x-1}\)

Решаем тем же способом. Сначала указываем ОДЗ: \(x+1≠0\)

Затем переносим x-1 влево, сразу этому выражению приписываем знаменатель 1, это можно сделать, так как знаменатель 1 ни на что не влияет.

Получаем:   \({3×2-6\over 2(x+1)} -{x-1\over1}=0\) Ищем общий знаменатель, это \(2(x+1)\). Вторую дробь домножаем на это выражение. Получили:  \({3×2-6\over2(x+1)} -{(x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)} =0\)                  \({ 3×2-6-2×2+2\over2(x+1)} =0 \) Если сложно, поясню: \(2(x+1)(x-1)=2×2-2 \)   А так как перед второй дробью стоит знак «-», то, объединяя эти дроби в одну, мы знаки меняем на противоположные. Дальше приводим в числителе подобные слагаемые:   \({x2-4\over2(x+1)} =0\) Замечаем, что \(x2-4=(x-2)(x+2)\) и переписываем так: \({(x-2)(x+2)\over2(x+1)} =0\) Дальше используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, укажем, что числитель равен нулю. \((x-2)(x+2)=0\).   И решим это уравнение. Оно состоит из двух множителей x-2 иx+2. Помним, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Значит: x+2=0 или   x-2=0

Из первого уравнения получаем x=-2 , из второго x=2  . Переносим число, и знак меняем.

На последнем этапе проверяем ОДЗ: x+1≠0

Подставляем вместо x числа 2 и -2.

Получаем 2+1≠0. Выполняется? Да! Значит x=2 – наш корень. Проверяем следующий: -2+1≠0.   Выполняется. Да. Значит и x=-2, тоже наш корень. Итак, ответ: 2 и -2.

Последнее уравнение решим без пояснений. Алгоритм тот же:

1. ОДЗ

2. Общий знаменатель.

3. Числитель приравниваем к нулю.

4. Решаем получившееся уравнение.

5. Проверяем ОДЗ на выполнение.

Попробуйте решить самостоятельно, решение сверьте с образцом:

\({{x\over x-2}+{8\over 4-x2}-{1\over x+2}}=0 \)    \({x\over x-2}+{8\over (2-x)(2+x)} -{1\over x+2}=0 \) \({x\over x-2}-{8\over(x-2)(2+x)} -{1\over x+2}=0\)             \({x⋅(x+2)\over x-2}-{8\over(x-2)(x+2)}-{1⋅(x-2)\over x+2}=0\)      \({x⋅(x+2)-8-1⋅(x-2)}\over{(x-2)(x+2)} =0\)             \({x2+2x-8-x+2}\over{(x-2)(x+2)} =0\)          \({x2+x-6}\over{(x-2)(x+2)} =0\) \(D=b2-4ac=1-4⋅1⋅(-6)=1+24=25=52\) \(x_1=-{{b+√D}\over2a}={-1+5\over2}=2\) \(x_2=-{b-√D\over2a}={-1-5\over2}=-3\)

ОДЗ: 2-2≠0.    Не выполняется, значит x=2 не наш корень.

\(-3-2≠0 \) Выполняется!

\(4-(-3)2≠0\) Выполняется!

\(-3+2≠0 \) Выполняется! Следовательно, x=-3 решение нашего уравнения.

Уверена, что ваше решение сошлось с образцом.

Напоследок хочу сказать, что мы рассмотрели только один способ решения дробно-рациональных уравнений. Надеюсь, что этот способ не показался вам сложным. Успехов в учебе!

Источник: https://myalfaschool.ru/articles/reshenie-drobno-racionalnyx-uravnenij

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

Как думаешь, какое это уравнение?

Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

А это?

Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

Что скажешь насчет этого?

А это – рациональное.

А здесь?

Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

А вот это с отрицательным показателем степени?

Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.  

И последней с дробной степенью?

А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать? 

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно  !

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

  ,

А теперь делим обе части на  :

Тут все просто?

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

Тогда какое же оно?

Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

Сначала подставим  , получается   

Нет претензий?

С ним все нормально.

А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

Области Допустимых Значений

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

Найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  .

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда:

  .

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 8

2.  

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .

Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

Тогда:

 Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

 При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

Если  , получим деление на  .

Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

Пример 9

3.  

 Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

 Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

 Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

Ответ:  .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений: 

 .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-uravneniya-1

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

\(\frac{9×2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9×2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8×2=6\)

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение.

  7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

  8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\) ОДЗ:   \(x-2≠0⇔x≠2\) \(x+2≠0 ⇔x≠-2\)

\(x2-4≠0⇔ x≠±2\)

Сначала записываем и “решаем” ОДЗ.

\(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\)

По формуле сокращенного умножения: \(x2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).

\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} – \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

\(x(x+2)-7(x-2)=8\)

Раскрываем скобки

\(x2+2x-7x+14=8\)

Приводим подобные слагаемые

\(x2-5x+6=0\)

Решаем полученное квадратное уравнение.

\(x_1=2;\)            \(x_2=3\)

Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень – посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x2+7x+10}\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\)

\(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем   квадратный трехчлен \(x2+7x+10\) на  множители по формуле: \(ax2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)

Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.

\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\)
\(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)

Сокращаем дроби

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

Раскрываем скобки

\(x2+5x+x2+3x+2-7+x=0\)

Приводим подобные слагаемые

\(2×2+9x-5=0\)

Находим корни уравнения

\(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Дробно-рациональные  неравенства

Скачать статью {Q(x)}\)\(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – выражения с иксом (или другой переменной).”,”word_count”:330,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: http://cos-cos.ru/math/151/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.