Как делить кубическое уравнение уголком. Деление многочленов

Калькулятор онлайн.Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

Как делить кубическое уравнение уголком. Деление многочленов

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком. Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \), \( g(x) eq 0 \), существуют единственные полиномы \( q(x) \) и \( r(x) \), такие что \( \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+\frac{r(x)}{g(x)} \)

причем \( r(x) \) имеет более низкую степень, чем \( g(x) \).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \( q(x) \) и остатка \( r(x) \) для заданных делимого \( f(x) \) и ненулевого делителя \( g(x) \)

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
\( \large \frac{x3-12×2-42}{x-3} \)

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1.

Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой \( (x3/x = x2) \)

\( x3 \)\( -12×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x \)\( -3 \)
\( x2 \)

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного).

Записываем результат под первыми двумя элементами делимого \( (x2 \cdot (x-3) = x3-3×2) \)

\( x3 \)\( -12×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x3 \)\( -3×2 \)
\( x \)\( -3 \)
\( x2 \)

3.

Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой \( (x3-12×2+0x-42-(x3-3×2)=-9×2+0x-42) \)

\( x3 \)\( -12×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x3 \)\( -3×2 \)
\( -9×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x \)\( -3 \)
\( x2 \)

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

\( x3 \)\( -12×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x3 \)\( -3×2 \)
\( -9×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( -9×2 \)\( +27x \)
\( -27x \)\( -42 \)
\( x \)\( -3 \)
\( x2 \)\( -9x \)

5. Повторяем шаг 4.

\( x3 \)\( -12×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( x3 \)\( -3×2 \)
\( -9×2 \)\( +0x \)\( -42 \)
\( -9×2 \)\( +27x \)
\( -27x \)\( -42 \)
\( -27x \)\( +81 \)
\( -123 \)
\( x \)\( -3 \)
\( x2 \)\( -9x \)\( -27 \)

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \( q(x)=x2-9x-27 \) — частное деления многочленов, а \( r(x)=-123 \) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств: \( x3-12×2-42 = (x-3)(x2-9x-27)-123 \) или

\( \large{\frac{x3-12×2-42}{x-3}} = x2-9x-27 + \large{\frac{-123}{x-3}} \)

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/polynom-div

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Как делить кубическое уравнение уголком. Деление многочленов

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nxn+a_{n-1}x{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_{n-1},\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_ne 0\), называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\)-ой степени.

Обозначим \(P_n(x)=a_nxn+a_{n-1}x{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Известно, что \(x=2\) является корнем уравнения \(2×3-9×2+x4-x+6=0\). Найдите частное от деления \(2×3-9×2+x4-x+6\) на \(x-2\).

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

\[\begin{array}{rr|l}x4+2×3-9×2-x+6&&egthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\&&\\\end{array}\]

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала \(x4\), затем \(2×3\) и т.д.Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.

Т.к. делитель \(x-2\) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(x4+2×3\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(x4\,\).
На \(x3\). Тогда после вычитания \(x4+2×3-x3(x-2)\) останется \(4×3\). Снесем слагаемое \(-9×2\):

\[\begin{array}{rr|l}x4+2×3-9×2-x+6&&egthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\\underline{x4-2×3\,} \phantom{000000000000}&&egthickspace \quadx3\\[-3pt]4×3 -9×2\phantom{0000000}&&\\\end{array}\]

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(4×3-9×2\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(4×3\).
На \(4×2\): \(\quad 4×3-9×2-4×2(x-2)=-x2\).
Опять снесем следующее слагаемое \(-x\):

\[\begin{array}{rr|l}x4+2×3-9×2-x+6&&egthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\\underline{x4-2×3\,} \phantom{000000000000}&&egthickspace \quadx3+4×2\\[-3pt]4×3 -9×2\phantom{0000000}&&\\\underline{4×3 – 8×2\,}\;\phantom{000000}&&\\[-3pt]-x2 – x\phantom{000}\;&&\\\end{array}\] Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

\[\begin{array}{rr|l}x4+2×3-9×2-x+6\phantom{0}&&egthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\\underline{x4-2×3\,} \phantom{0000000000000}&&egthickspace \quadx3+4×2-x\\[-3pt]4×3 -9×2\phantom{00000000}&&\\\underline{4×3 – 8×2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt]-x2 – \,x\phantom{0000}\;&&\\\underline{-x2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt]-\;3x+6&&\\\end{array}\]

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\):

\[\begin{array}{rr|l}x4+2×3-9×2-x+6\phantom{0}&&egthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\\underline{x4-2×3\,} \phantom{0000000000000}&&egthickspace \quadx3+4×2-x-3\\[-3pt]4×3 -9×2\phantom{00000000}&&\\\underline{4×3 – 8×2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt]-x2 – \,x\phantom{0000}\;&&\\\underline{-x2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt]-\;3x+6&&\\\underline{-\;3x+6}&&\\[-3pt]0&&\\\end{array}\]

Таким образом, можно сказать, что \(x4+2×3-9×2-x+6=(x-2)(x3+4×2-x-3)\).

Замечание

1) Если \(x=x_0\) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть \(0\). В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен \(0\)) на \(x+a\), то он также будет делиться без остатка на \(c(x+a)\) для любого числа \(ce 0\).

Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на \(2x-4\), то получили бы в частном \(\frac12x3+2×2-\frac12x-\frac32\).

Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим \(10\) на \(2\), то получим \(5\); а если разделим \(10\) на \(3\cdot 2\), то получим \(\frac53\).

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения \(x4+2×3-9×2-x+6=0\), необходимо найти корни уравнения \(x3+4×2-x-3=0\).
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

Теорема

Если число \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

\[a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0\]

Доказательство

Действительно, так как \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то после подстановки \(x=1\) в него мы получим верное равенство. Так как \(1\) в любой степени равен \(1\), то слева мы действительно получим сумму коэффициентов \(a_i\), которая будет равна нулю.

Пример

У уравнения \(x2-6x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю: \(1-6+5=0\). Следовательно, \(x=1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: \(12-6\cdot1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\).

Теорема

Если число \(x=-1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма коэффициентов при четных степенях \(x\) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях \(x\).

Доказательство

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\):

\(a_n\cdot (-1)n+a_{n-1}\cdot (-1){n-1}+a_{n-2}\cdot(-1){n-2}+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\)  \(a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\)  \(a_n+a_{n-2}+\dots+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1\)

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении \(x3+2×2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

\[1+2-8+5=0\]

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x3+2×2-8x+5\) на \(x-1\):

\[\begin{array}{rr|l}x3+2×2-8x+5&&egthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\\underline{x3-\ x2\,} \phantom{00000000}&&egthickspace\quad x2 + 3x -5\\[-3pt]3×2 – 8x\,\phantom{000}&&\\\underline{3×2 – 3x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt]-5x + 5&&\\\underline{-5x +5}&&\\[-3pt]0&&\\\end{array}\]

Таким образом, \(x3+2×2-8x+5=(x-1)(x2 + 3x -5)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x2+3x-5=0\).

А это \(x_{1,2}=-\dfrac 32\pm \dfrac{\sqrt{29}}2\).

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

В уравнении \(x3-x2+x+3=0\) сумма коэффициентов при четных степенях \(-1+3=2\), а при нечетных: \(1+1=2\). Таким образом, число \(x=-1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x3-x2+x+3\) на \(x+1\):

\[\begin{array}{rr|l}x3-\,x2+ \ x+3\phantom{0}&&egthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\\underline{x3+x2\;} \phantom{00000000}&&egthickspace\quad x2 -2x +3\\[-3pt]-2×2 + x\phantom{0000}&&\\\underline{-2×2 -\! 2x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt]3x + 3&&\\\underline{3x +3}&&\\[-3pt]0&&\\\end{array}\]

Таким образом, \(x3-x2+x+3=(x+1)(x2 – 2x +3)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x2-2x+3=0\).
Но это уравнение не имеет корней (\(D

Источник: https://shkolkovo.net/theory/kubicheskie_uravneniya_metod_deleniya_v_stolbik_algebraicheskie_uravneniya_stepeni_n_primery

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.