Как найти сумму чисел в арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

Содержание

Как найти арифметическую прогрессию? Арифметическая прогрессия примеры с решением

Как найти сумму чисел в арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Арифметическая или алгебраическая прогрессия – это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.

Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, …, поскольку разность в этом случае равна 4 (8 – 4 = 12 – 8 = 16 – 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 – 3 ≠ 8 – 5 ≠ 12 – 8 ≠ 17 – 12).

Важные формулы

Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом an n-й член последовательности, где n – целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:

  1. Для определения значения n-го члена подойдет формула: an = (n-1)*d+a1.
  2. Для определения суммы первых n слагаемых: Sn = (an+a1)*n/2.

Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = an – an-1.

Далее, в статье приводятся различные примеры применения этих выражений.

Пример №1: нахождение неизвестного члена

Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.

Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, …, необходимо в ней найти пять членов.

Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:

  1. Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 – 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 – 6 = -2. Поскольку известно, что d = an – an-1, тогда d = a5 – a4, откуда получаем: a5 = a4 + d. Подставляем известные значения: a5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a1 = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: an = (n – 1) * d + a1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a5 = 12-2 * 5 = 2.

Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример №2: разность прогрессии

Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: an = (n – 1) * d + a1. Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a1 и a7, имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 – 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a2 = a1 + d, a3 = a2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a1 = 6, a2 = 6 + 2=8, a3 = 8 + 2 = 10, a4 = 10 + 2 = 12, a5 = 12 + 2 = 14, a6 = 14 + 2 = 16, a7 = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, – 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a1 = -4 и a5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей.

Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a5 = a1 + 4 * d. Откуда: d = (a5 – a1)/4 = (5 – (-4)) / 4 = 2,25.

Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a1 = – 4, a2 = – 4 + 2,25 = – 1,75, a3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a15 = 50 и a43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a15 = a1 + 14 * d и a43 = a1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a1, а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a1 = a15 – 14 * d = 50 – 14 * d; второе уравнение: a1 = a43 – 42 * d = 37 – 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 – 14 * d = 37 – 42 * d, откуда разность d = (37 – 50) / (42 – 14) = – 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a1. Например, первым: a1 = 50 – 14 * d = 50 – 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a43 = a1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, …,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter.

Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1.

Применяя формулу для суммы, получаем: Sn = n * (a1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название “гауссовой”, поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий математик Гаусс, еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд.

Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …

, а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, …, нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m – целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

  1. Sm = m * (am + a1) / 2.
  2. Sn = n * (an + a1) / 2.

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член am (в случае взятия разности он вычитается из суммы Sn), то получим необходимый ответ на задачу.

Имеем: Smn = Sn – Sm + am =n * (a1 + an) / 2 – m *(a1 + am)/2 + am = a1 * (n – m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для an и am.

Тогда получим: Smn = a1 * (n – m) / 2 + n * (a1 + (n – 1) * d) / 2 + (a1 + (m – 1) * d) * (1 – m / 2) = a1 * (n – m + 1) + d * n * (n – 1) / 2 + d *(3 * m – m2 – 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма Smn зависит только от n, m, a1 и d. В нашем случае a1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: Smn = 301.

Некоторые советы при решении задач с арифметической прогрессией

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше.

Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле Smn = n * (a1 + an) / 2 – m * (a1 + am) / 2 + am, и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены an и am).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Источник: https://FB.ru/article/424391/kak-nayti-arifmeticheskuyu-progressiyu-arifmeticheskaya-progressiya-primeryi-s-resheniem

Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы

Как найти сумму чисел в арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

,

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа  (шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия – это монотонная последовательность. При  она возрастает, а при  — убывает. Если , то последовательность – стационарная. Это следуют из соотношения  для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти с помощью формулы:

,

 где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность   – это арифметическая прогрессия  для элементов этой прогрессии выполняется условие:

.

3. Сумма 1-х  членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х   членов арифметической прогрессии  можно найти с помощью формул:

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — член с номером , 

 — число суммируемых членов.

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — разность прогрессии, 

 — число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия  является расходящейся при  и сходящейся при . При этом:

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть  — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид  является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Примеры арифметических прогрессий

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой  и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой  и . В частности,  является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х  натуральных чисел выражают формулой:

.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число  (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия – это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда  и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при  — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

2. Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

,

3. Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

4. Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

5. Если , то  при , и при .

Примеры геометрических прогрессий

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.

2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.

4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.

5.  — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

И как заключение:

Арифметическая прогрессия, формулы

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Геометрическая прогрессия, формулы

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Источник: https://www.calc.ru/Progressii-Arifmeticheskaya-Geometricheskaya-Formuly.html

Сумма арифметической прогрессии

Как найти сумму чисел в арифметической прогрессии. Алгебраическая прогрессия

Сумма арифметической прогрессии – штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.

Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много… сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.

Формула суммы выглядит просто:

Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.

Sn – сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый – прямое применение формулы разочарует.)

a1 – первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.

an – последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.

n – номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.

Определимся с понятием последнего члена an. Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)

Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и… внимательно читать задание!)

В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.

Самое главное – понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Количество этих самых первых членов, т.е. n, определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да… Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.

)

Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии

Прежде всего, полезная информация:

Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное – не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.

1. Арифметическая прогрессия задана условием: an = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.

Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a1, последний член an, да номер последнего члена n.

Где взять номер последнего члена n? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер – десятый!) Стало быть, вместо an в формулу будем подставлять a10, а вместо n – десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.

Осталось определить a1 и a10. Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого – никак.

Находим:

a1= 2·1 – 3,5 = -1,5

a10=2·10 – 3,5 =16,5

Sn = S10.

Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:

Вот и все дела. Ответ: 75.

Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:

2. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 3,7; a1=2,3. Найти сумму первых 15 её членов.

Сразу пишем формулу суммы:

Смотрим, что у нас для формулы есть, а чего не хватает. Есть первый член и количество членов:

a1=2,3

n=15

Не хватает значения an, т.е. последнего члена. В нашем случае последним членом будет a15. Зато есть разность прогрессии d=3.7. Это намёк.) На применение формулы n-го члена. Я же говорил, что без неё – никак. Вот она, формула:

Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:

a15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1

Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:

Ответ: 423.

Кстати, если в формулу суммы вместо an просто подставим формулу n-го члена, получим:

Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Как видим, тут не требуется n-й член an. В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да… Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)

Теперь задание в виде краткой шифровки):

3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.

Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще… Как жить!?

Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа – знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут…

Кратные трём… Гм… Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится… 12… делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:

12, 15, 18, 21, … 96, 99.

Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)

Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:

d = 3.

a1= 12

an= 99

А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 – фатально заблуждается… Номера – они всегда подряд идут, а члены у нас – через тройку перескакивают. Не совпадают они.

Тут два пути решения. Один путь – для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь – для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 – это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.

Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:

Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:

a1= 12.

a30= 99.

n = 30.

Sn = S30.

Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:

Ответ: 1665

Ещё один тип популярных задачек:

4. Дана арифметическая прогрессия:

-21,5; -20; -18,5; -17; …

Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.

Смотрим на формулу суммы и… огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого… Не сработает формула.

Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но… как-то тупо и долго получается, правда?)

Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть – с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S1-19, да сложим с суммой членов второй части S20-34, получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S1-34. Вот так:

S1-19 + S20-34 = S1-34

Отсюда видно, что найти сумму S20-34 можно простым вычитанием

S20-34 = S1-34 – S1-19

Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?

Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:

d = 1,5.

a1= -21,5.

Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:

a19= -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5

a34= -21,5 +(34-1)·1,5 = 28

Далее, по формулам:

Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:

S20-34 = S1-34 – S1-19 = 110,5 – (-152) = 262,5

Ответ: 262,5

Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно – S1-19. А уж потом определили и S20-34, отбросив от полного результата ненужное. Такой “финт ушами” частенько спасает в злых задачках.)

В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)

Практический совет:

При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.

Формулу n-го члена:

Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.

А теперь задачи для самостоятельного решения.

5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.

Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.

6. Арифметическая прогрессия задана условием: a1 =-5,5; an+1= an+0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.

Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.

7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?

Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.

Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.

Источник: http://www.egesdam.ru/page9ap3.php

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.