Как считать пределы. Как решать пределы для чайников

Калькулятор онлайн.Решение пределов

Как считать пределы. Как решать пределы для чайников

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции
Нет, на сайте вполне удобно. Да, но только если она будет бесплатной. Да, даже если она будет платной. Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 otin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
x1, x2, x3, …, xn, …      (1) сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

f(x1), f(x2), f(x3), …, f(xn), …      (2)

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х0 (или при х -> x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(xn)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x0, если для любого числа \( \varepsilon > 0 \) существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x eq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| < \delta \), выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \)

Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x eq x_0, \; |x-x_0| < \delta): |f(x)-A| < \varepsilon \)

Отметим, что неравенства \( x eq x_0, \; |x-x_0| < \delta \) можно записать в виде \( 0 < |x-x_0| < \delta \)

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon – \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \( \varepsilon – \delta \)» — определением предела функции по Коши.

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon – \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x0, если для любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \( x_0 < x < x_0 + \delta \; (x_0 -\delta < x < x_0 ) \) , выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \). Символические записи:

\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 < x < x_0 + \delta ): |f(x)-A| < \varepsilon \) \( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < \varepsilon \) [attention type=red]

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

[/attention]

Теорема
Функция f(х) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x0 и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символическая запись:
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $$

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \right) $$

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и \( \frac{f(x)}{g(x)} \) (при \( C eq 0 \) ) имеют в точке x0 пределы, равные соответственно В±С, ВС и \( \frac{B}{C} \).

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и функции f(х), h(x) имеют в точке x0 предел, равный А, т.е. $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \). Тогда $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$ или \(\infty \) f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности x0 , и \( g'(x) eq 0 \) в окрестности x0 , и существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \). $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right)x = e $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/limits

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Как считать пределы. Как решать пределы для чайников

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

 

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе.

Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла.

В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

 

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник: https://Zaochnik.ru/blog/predely-dlya-chajnikov-teoriya-primery-reshenij/

Как решать пределы для чайников?

Как считать пределы. Как решать пределы для чайников

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$

б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Пример 2
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Решение

Внимание “чайникам” 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2+2 \cdot x+1}{x+1}=\frac{12+2 \cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = \frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними – это не так страшно как кажется 🙂

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3
Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} $
Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. 

$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} = \frac{(-1)2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a2-b2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} = -2 $$
Пример 4
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} $$
Решение

$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{0}{0} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)2} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{x+2}{x-2} = \frac{2+2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $$

Бесконечность получилась в результате – это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} $
Решение

$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное – возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2(1-\frac{1}{x2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$

$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} = \infty $$
Пример 6
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} $$
Решение

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} = $$

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2(1-\frac{4}{x2})}{x2(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x2})} = $$

$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{4}{x2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x2}} = \frac{1}{1} = 1 $$

Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = 1 $$

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы.

В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее.

Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kak-reshat-predely-dlya-chajnikov.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.