Площадь 4 угольника формула. Как найти площадь четырехугольника

Площади четырехугольников

Площадь 4 угольника формула. Как найти площадь четырехугольника

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Четырехугольники

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникS = aba и b – смежные стороны
Посмотреть вывод формулыd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
S = 2R2 sin φПолучается из верхней формулы подстановкой d=2RR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
ПараллелограммS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = absin φПосмотреть вывод формулыa и b – смежные стороны,φ – угол между ними
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
КвадратS = a2a – сторона квадрата
S = 4r2r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd – диагональ квадрата
S = 2R2Получается из верхней формулы подстановкой d = 2RR – радиус описанной окружности
РомбS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = a2 sin φПосмотреть вывод формулыa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
S = 2arПосмотреть вывод формулыa – сторона,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромба
ТрапецияПосмотреть вывод формулыa и b – основания,h – высота
S = m hm – средняя линия,h – высота
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Посмотреть вывод формулыa и b – основания,c и d  – боковые стороны
ДельтоидS = ab sin φa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
a и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rПосмотреть вывод формулыa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольникПосмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник,Посмотреть вывод формулы Брахмагуптыa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметр,Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороныПосмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
,гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны,Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AE – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7).

Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

Площадь четырехугольника

Площадь 4 угольника формула. Как найти площадь четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям.

В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними.

Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон.

Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу.

Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:
используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A(2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна: Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-chetyrexugolnika/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.