Тригонометрические уравнения повышенной трудности с решениями. Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений –

Тригонометрические уравнения повышенной трудности с решениями. Методы решения тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. 

Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. 

Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, есливсе его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:   а)  перенести все его члены в левую часть;   б)  вынести все общие множители за скобки;   в)  приравнять все множители и скобки нулю;   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на         cos ( или sin ) в старшей степени;    д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .     П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь – так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму

Здесь используются соответствующие формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = p / 2 + pk ,

                                                 x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.

Рассмотрим этот метод на примере.

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

Источник: https://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij

Методы решения сложных тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения повышенной трудности с решениями. Методы решения тригонометрических уравнений

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Методы решениясложных

тригонометрическихуравнений

І тип.Двучленныеуравнения. Уравнения, содержащие дветригонометрические функции с коэффициентами1.

Пример 1.

Решение

или

Ответ: ;

Пример 2.

Решение

Ответ: ; .

ІІ тип. Многочленныетригонометрические уравнения. Всефункции содержащиеся в этом уравнении,переносят в левую часть и полученныйтригонометрический многочлен раскладываюна множители.

Если многочлен уравнениясодержит четную степень, то формулампонижают степень и превращают впроизведение.

Если тригонометрическиймногочлен содержит функции такимобразом, что этот многочлен будетстандартного вида, то применяют методподстановки.

1)

2)

ІІІ тип.Однородные тригонометрические уравнения.

1) (уравнениеІ степени)

2) (уравнение ІІ степени)

3) ( уравнение ІІІстепени)

Эти уравнения решаются делениемэтого уравнения на старшую степень

или .

1) /:,

2)

3)

Пример1.

Решение

Пусть тогда

Ответ:

Пример2.

Решение

Это уравнение можно свести коднородному третьего порядка относительноилиесли заменить

Получим

Разделилиобе части уравнения на получим

Пусть

Легкопроверить, чтоявляетсякорнем этого уравнения.

Поэтому

или

корнейнет.

Ответ:

ІV тип. Линейные неоднородныетригонометрические уравнения.

1) еслитоделим на

2) если тогда применяем метод универсальнойподстановки

итак далее.

3) если то неоднородное уравнение приводим коднородному второй степени с помощьютригонометрической единицы.

Vтип. Уравнения, содержащие тригонометрическиедроби.

Находим ОДЗ ( т.к. знаменатель0).Либо приводим к общему знаменателю,либо применяем метод подстановки.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

Пусть ,тогда

Это уравнение упростим, обозначивтогда

Тогда

корней нет

Ответ:

VІ тип. Иррациональныетригонометрические уравнения.

тригонометрическиефункции под знаком радикала.

Указать ОДЗ.

Пример 1. Решитьуравнение

Решение

при любых

Сделав замену получимиррациональное уравнение

которое равносильно системе

Поэтому неравенству системы удовлетворяет только

Значит .

Ответ:

VІІ тип. Функциональные.

В качестве аргументов используютсядругие функции.

Пример 1.

или

при при

Ответ: где при

где при

Пример2.

Решение

Так как то

Пусть

или

т.к.то неудовлетворяет

условию

Подставив вместо t его значение

Ответ:

VІІІтип. Уравнения, вкоторых в качестве коэффициента числоперед или,то делают числовую подстановку или .

Пример.1 Решитьуравнение

Решение

или

Ответ:

ІXтип. Уравнения вида

решаются с помощью замены или

1) 2)

Пример1. Решить уравнение

Решение

Пусть

Тогда,

корнейнет.

Ответ:

Метод оценок прирешении тригонометрических уравнений

Некоторые тригонометрическиеуравнения удается решить, используянеравенства: верны для всех

Пример 1. Решитьуравнение

Решение

Поскольку и топричем

равенство здесь имеет местотогда и только тога, корда одновременновыполняются равенства и Значитисходное уравнение равносильно системе:

Изобразим эти решениясоответствующими точками единичнойокружности

(решения первого уравнения , решениевторого уравнения – точки помеченныекрестиком *).

*

Число х будет решением системытогда и только тогда, когда оно являетсярешением обоих уравнений системы. Изрисунка видно, что такими числамиявляются числа

Ответ:

Пример 2. Решитьуравнение

Решение

Воспользуемся формулой

и ,значит

Равенство возможно при и Значит данное неравенство равно системе:

Решениями системы являются теи только те значения для которых при некоторых и выполняютсяравенства Найдем целые и ,для которых Сокративна получим,что но это равенство возможно только при и Таким образом система, а значит , иисходное уравнение имеют единственноерешение

Ответ:

Пример 3. Решитьуравнение

Решение

или

,данное уравнениеравносильно

Решенияпервого уравнения , решение второгоуравнения – точки помеченные крестиком*.

Ответ:

Использованиеобласти определения функции при решенииуравнений.

К «функциональным» методамрешения тригонометрических уравненийи неравенств относится применениеосновных свойств тригонометрическихфункций.

Иногда знание областей определенияфункций, входящих в уравнение илинеравенство, дает возможность показать,что уравнение или неравенство не имеетрешений. Иногда знание ОДЗ позволяетнайти решения уравнения или неравенстванепосредственной подстановкой чиселиз ОДЗ.

Решить уравнение:

Решение

ОДЗ этого уравнения состоит извсех ,удовлетворяющих условиям:

ОДЗ:

Подставляя эти значения в уравнение, получаем, что его правая илевая части равны нулю, а это означает,что все являются его решением.

Ответ:

Тригонометрические уравнениетипа

Решение таких уравнений сводитсяк группировке, последующему разложениюправой части уравнения на множители ипереходу к решению эквивалентнойсовокупности простейших уравнений.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

или или

В общем случае предположим, чтосерия решений содержит параметр

а серия решений – параметр Чтобы выяснить, содержится ли одна изэтих серий в другой, нужно приравнятьэти решения и найти зависимость от

Если эта зависимость линейна и то серия решений содержится в серии решения Если хотя бы один из коэффициентов ( или )не целый, то нужно найти зависимость от Если эта зависимость имеет вид где то серия решений содержится в серии решений Приусловии, что либо либо нецелое, серии решений и не содержат одно другое.

Выясним, не содержатся ли какие– либо из полученных серий решений вдругих:

1) следовательно решение содержится в

решении поэтомуисключаютиз решения.

2) что невозможно

при

Ответ:

Пример 2.

Решение

или

или

Сравним полученные решения

Следовательно серия решения содержится в серии решений

чтоневозможно при

Ответ:

Пример 3.

Решение

или

Сравнимрешения

Серия не содержится в серии

Значит и серия не содержится в серии

Ответ:

Источник: https://gigabaza.ru/doc/11676.html

Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений – Алгебра и начала математического анализа – 10 класс – Российская электронная школа

Тригонометрические уравнения повышенной трудности с решениями. Методы решения тригонометрических уравнений

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
  • Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
  • Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
  • Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема – основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема – основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений.

И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной.

Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений – это метод разложения на множители.

Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных – во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что,  .

Ответ: ,  .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6320/conspect/

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения повышенной трудности с решениями. Методы решения тригонометрических уравнений

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:

3.

Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:
Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:
Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойногоугла). Получаем:

и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.

Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда

(3)

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что  :
В левой части получили синус суммы:

,

откуда и

2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на :

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе.

Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,или
Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:
,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки.

 Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3.

Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:
Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:
Решаем уравнение системы:

,
,
Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:
Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение
Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:

,

,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,
Как действовать дальше, мы знаем.

3.

Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :
,
,
Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение
Выделяем полный квадрат!

,

,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .Получим:

,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskie-uravneniya/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.